少数データ(少数例)の平均値や割合の誤差について


“卒論や修論で、少数例、それも極めて少数のデータから平均値や割合（百分率）を求めて、それをもとに議論する学生が毎年のようにいます。”
“少数のデータ（非常に小さな標本）から得られる平均値や比率は誤差（偏り）が大きいので、その取り扱いにはとりわけ注意が必要です。”
“ここでは少数データが抱える誤差の問題を考察します。”

<<例題>>

調査した８人のうち、ある質問項目に４人がｙｅｓで４人がｎｏであった。この場合、単純にはｙｅｓの割合は１／２(50%)である。
この割合は、真の値からどのくらいの誤差があるか？

<<解法>>

考え方：
調査した人々は標本（サンプル）で、本来はその標本が属する母集団の比率（「母比率」）が求める数字である。すなわち、真の値は母比率である。ここでは、それと標本の比率との較差を「誤差」とする（この誤差は標本の偏りの大きさを意味するが、一般に誤差をこのように定義しているわけではないので注意されたい）。
だが、母比率は普通は直接には分からない。しかも、母比率は一つの数値として特定できなくて、散らばりをもっている数値（確率的な分布）としてしかわからない。そこで、標本の情報をもとに一定の確率で存在する母比率の範囲（母比率の「信頼区間」と呼ばれる数値の幅）を推定することになる。

誤差の推定の方法：
元の標本から無作為に復元抽出を行って新たな標本を得る（具体的には、８人に番号を付けて、１から８までの番号からランダムに１個を選択し、一度選んだ番号が重複されるのを許容しつつ、その選択を８回繰り返して８個からなる新たな標本を構成する）。
この操作をコンピュータで何度も何度も反復し、その都度ｙｅｓ比率を計算して、それを昇順の数列に並べ替えておく。このような反復計算によって得られるｙｅｓ比率の分布を母集団の分布とみなす。反復の回数は決まっていないが、相当数が必要である。ここでは10,000回の反復計算（シミュレーション）を行う。このような反復計算から統計的な推定を行う方法をブートストラップ法という。ここでは９５％の信頼区間（９５％の確率で存在する母比率の範囲：両端を除いた9,500個の数列の最大と最小）を求めることにする。
ここでは、便宜上、９５％の確率で存在する範囲の半分を誤差の大きさとみなす（誤差は正負両方にあるが、ここでは絶対値をとってその大きさを問題とする）。
なお、ブートストラップ法は標本が１０未満では通常使わないが、ここでは直感的に分かりやすいようにコンピュータ上の模擬実験をあえて選択している（議論を単純にして、確率分布とのその形状を抜きにしていきなり計算にもちこめるから）。母比率を推定する方法は一通りでない。この方法は数理統計学の標準的（古典的？）な教科書には載っていないことが多いが、今日では有力な考え方の一つである。

参考：
無作為復元抽出の反復計算プログラム
（数学ソフトのMathematica<マセマティカ>を利用。高性能だが高価なソフト。なお、この部分は読み飛ばしてもらっても可。）

x={1,1,1,1,0,0,0,0};
n=8;
k=10^4;
y=Table[Sum[x[[Ceiling[Random[]*n]]]*i/i,{i,n}]*j/j/n,{j,k}];
z=Sort[y];　　　　　　　　　
e=N[Sum[z[[i]],{i,1,k}]/k]　　
d=N[z[[0.025*k]]]　　　　　　 
u=N[z[[0.975*k]]]　　　　　　 

x：元の標本
n：標本の大きさ
k：反復回数
y：無作為に１万回反復して復元抽出した場合のｙｅｓ比率の数列
z：ｙを昇順にならべかえたもの
e：母比率の期待値
d：９５％信頼区間の下限
u：９５％信頼区間の上限

<<誤差の見積もりの結果とその考察>>

標本が無作為（ランダム）に抽出されているかどうかで、結果はことなる。無作為抽出とは、サイコロを振ったときの目の数を採用するように偶然に支配される方法でリストから抽出することである。

◎その１：「８人が無作為（ランダム）に選ばれているとき」

１万回のシミュレーションの結果（ＰＣによる計算）
ｙｅｓ率の平均値　0.5033　
（当然ながら理論的な期待値である0.5に非常に近かった）
９５％信頼区間の下限　      0.125　１２．５％
９５％信頼区間の上限　      0.875　８７．５％

８人中４人が回答した項目では、標本の比率は５０％でも、母集団の比率（母比率）は１２．５％から８７．５％の間となる。誤差の範囲は実に

　　±３７．５ポイント　
　　＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾
にもなる。
つまり、真の値は０．５とその近傍に存在する確率が高いとしても大きなブレをもって分布しているわけである。
ただし、無作為に選ばれたときは、正負両方に分布する誤差の期待値はゼロになるという好ましい性質をもつことが分かっている。

誤差の大きさは標本が大きくなるにつれて小さくなることが分かっている。無作為抽出された２０人のうち１０人がｙｅｓと回答した場合、母比率の９５％信頼区間は３０．０％から７０．０％の間となる。このとき、誤差の大きさは２０．０ポイントである。
さらに、無作為抽出された２００人のうち１００人がｙｅｓと回答した場合、母比率の９５％信頼区間は４３．５％から５６．５％の間となる。このとき、誤差の大きさは６．５ポイントである。このように標本が大きくなるにつれてブレ（誤差）は小さくなるが、誤差を十分に小さくするには標本サイズ（データ数）を相当に大きくしなければならいことがわかる。
（標本の大きさと信頼区間の幅の関係については、実際に計算を繰り返してみて、どの程度になるかについて、経験的に感触をつかむようにしたほうがよい。そうやって統計学のセンスを磨くと、間違ったデータ処理をしないですむようになれる。）

◎その２：「８人が無作為（ランダム）に選ばれていないとき」

母集団の特徴がよくわっていない状況で、調査設計の段階で対象者全員の漏れのない名簿からサイコロを振るような選び方（＝無作為抽出）で調査対象者を決めなかった場合は、調査対象者が母集団の構成と大きく異なって選ばれている恐れがある。そうして選ばれた標本の比率の中心的傾向は、母集団の比率からはなにかしらの偏りが生じている可能性が高い。この場合は、正負の符合をつけた誤差の期待値は無作為抽出と違ってゼロではないのが普通である（言い換えると誤差はゼロを中心とした分布になっている保証がない）。

この誤差は、偶然的な変動（ホワイトノイズ）のみではなく、抽出の偏向（系統的な誤差ともいう）をも含む。従って、無作為抽出でない場合は、偏りの向きや大きさが特定できない限り、偏りの分だけは無作為抽出の場合より誤差を大きく見積もらざるをえない。つまり、無作為抽出でない場合は、誤差の大きさは３７．５ポイントよりも大きくなっていると見なせる。仮に誤差が絶対値で５ポイント増にとどまるとしても、母比率の信頼区間は７．５％から９２．５％にもなる（上限値は下限値の実に１０倍以上！）。

無作為抽出でない場合は、標本比率０．５をもって母集団でも「おおよそ半分」が成り立つとみなす解釈は、実は予断か錯覚にほかならない。実際は「わずか」から「大部分」までを含む大きな誤差があるといえる（サンプルで５０％でも、真の値は１０％、５０％、９０％のいずれも十分にありうる）。
しかも、この標本比率の期待値（同様な作為的な抽出を繰り返した場合の平均値）は母比率とズレ（偏り）がある可能性が高く、標本が０．５であっても母比率は０．５を中心に分布している保証がない。この場合の標本比率は、母集団に関するなんらかの確かな補助的な情報がない限り、母比率に関する参考数字としても意味をもたないといえる。

（ただし、無作為でない抽出（任意抽出）でも他の確たる情報があって、代表性を考えた抽出がなされた場合は、誤差がさほど大きくならずに済むことを否定するものではない。）

<<結論>>

いずれにせよ、調査対象者が非常に少数（例えば一桁の後半のような小標本）の場合は、標本比率は誤差が大きすぎて母比率の推定値としては当てにならないことがわかる。とりわけ、無作為抽出でない標本の場合は、標本比率は母比率から大幅に偏っている可能性がある。

一般に、推測統計学（数理統計学）の常識では、標本が小さくなるにつれて、標本の平均値や比率は、無作為抽出であっても母集団との乖離が大きくなってしまい、母集団の特性の代表値として信頼性が低くなるとみなされる。

普段はあまり意識されないかもしれないが、調査対象と研究対象は通常は一致していない。調査対象は研究対象のなかから偶然的に選択された要素にすぎず、調査対象と研究対象の間にはギャップがあるのが普通である。実際に自分が調べる調査対象は通例、標本にすぎないのに対して、研究対象は母集団であるからである。

１回限りの個性をもった現象でなくて集団的・反復的現象を扱った調査研究では、悉皆調査（全数調査）のデータを使わない限りは、つねに標本という「断片」から母集団という「全体」を窺い知る努力をすべき宿命をおっている。このことは忘れてはならない。

この半世紀で標本から母集団を推し量る数理的な理論と手法である推測統計学が社会科学の調査研究でもよく利用されるようになったのは当然のなりゆきでもあろう。調査研究においては、調査対象の代表性を如何に確保するか、また、調査対象はどのような偏りをもつかについては特に注意を払うべきである。本来は調査設計の段階で、調査結果の精度を考慮して必要な標本の大きさ（集めるデータの数）をあらかじめ統計学的に求めておくほうが望ましい。

○注記
ときどき、「サンプル数が少ない」いう表現をみかけるが、これは本来、データの集団である標本それ自体の数（相互に区別される集団の数）が少ないことを意味しており、標本を構成する例数が少ないという意味ではない。小規模標本の意味で使っている場合はあきらかに誤用であるが、しばしば誤用がみられる（統計ソフト内の表示だけでなく、研究論文内にさえ見いだされる）。ここでは、特に例数が少ないというニュアンスを込めて本来は小規模標本と呼ぶべきところを少数データと呼んでいる。

○補足：
上述の議論では、少数データが役に立たないという主張をしているわけではないことに留意すべきである。同一の対象者に投薬前後で比較をするような場合（いわゆる対応のあるケース）では、対象者がさほど多数でなくても効果の統計学的な判定ができることもある。さらに、推測統計学的方法に依拠しない調査方法もある。聞き取りによる調査研究では、研究対象を代表的な幾つかの類型に分類したうえで、事前情報を使って各類型の典型例を慎重に選んで調査する方法を採用することがある。この方法によれば、少数の事例調査で代表性を確保する途も残されている（推測統計学的方法がすべてではない）。とはいえ、少数の典型例を集めても母集団の平均値や割合までは明確に分からないことはいうまでもない。

○蛇足：
ブートストラップ法はリサンプリング法の一種であり、計算機統計学的手法として位置づけられている。母集団の分布について仮定を設ける（正規分布に従う等）ことがないので、ノンパラメトリックなアプローチの一種としても知られる。この手法の名称は、欧州に伝わる寓話である、沼にはまったミュンヒハウゼン男爵が自分のブーツのストラップをつまんで自分自身を引き上げたというほら話に基づいている。エフロン（Efron[1979]）によって提唱されたこの手法は、標本だけの情報から未知の母集団を構成してしまおうという画期的アイデアである。提唱者による命名は実に言い得て妙であると思う。

　（新潟大学農学部・平泉　　最終更新2008.02.17）

禁転載（平易に表現するために、「誤差」をはじめ、標準的な用語をあえて使っていない部分もあるので、複製の作成・配布はご遠慮下さい）